題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）某工廠有120名工人，其年齡都在20～60歲之間，各年齡段人數按[20，30)，[30,40)，[40，50)，[50，60]分組，其頻率分布直方圖如下圖所示.工廠為了開發新產品，引進了新的生產設備，要求每個工人都要參加A、B兩項培訓，培訓結束后進行結業考試，已知各年齡段兩項培訓結業考試成績優秀的人數如下表所示.假設兩項培訓是相互獨立的，結業考試也互不影響。
| 年齡分組 | A項培訓成績優秀人數 | B項培訓成績優秀人數 |
| [20，30) | 30 | 18 |
| [30，40) | 36 | 24 |
| [40，50) | 12 | 9 |
| [50,60] | 4 | 3 |
(1)若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求各年齡段應分別抽取的人數，并估計全廠工人的平均年齡；
(2)隨機從年齡段[20，30)和[30,40)中各抽取1人，求這兩人中至少有一人在A、B兩項培訓結業考試成績為優秀的概率。
（本小題滿分12分）某工廠有120名工人，其年齡都在20～60歲之間，各年齡段人數按[20，30)，[30,40)，[40，50)，[50，60]分組，其頻率分布直方圖如下圖所示.工廠為了開發新產品，引進了新的生產設備，要求每個工人都要參加A、B兩項培訓，培訓結束后進行結業考試，已知各年齡段兩項培訓結業考試成績優秀的人數如下表所示.假設兩項培訓是相互獨立的，結業考試也互不影響。
| 年齡分組 | A項培訓成績優秀人數 | B項培訓成績優秀人數 |
| [20，30) | 30 | 18 |
| [30，40) | 36 | 24 |
| [40，50) | 12 | 9 |
| [50,60] | 4 | 3 |
(1)若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求各年齡段應分別抽取的人數，并估計全廠工人的平均年齡；
(2)隨機從年齡段[20，30)和[30,40)中各抽取1人，設這兩人中A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的人數為X，求X的分布列和數學期望。
（本小題滿分12分）某工廠有120名工人，其年齡都在20～60歲之間，各年齡段人數按[20，30)，[30,40)，[40，50)，[50，60]分組，其頻率分布直方圖如下圖所示.工廠為了開發新產品，引進了新的生產設備，要求每個工人都要參加A、B兩項培訓，培訓結束后進行結業考試，已知各年齡段兩項培訓結業考試成績優秀的人數如下表所示.假設兩項培訓是相互獨立的，結業考試也互不影響。
| 年齡分組 | A項培訓成績優秀人數 | B項培訓成績優秀人數 |
| [20，30) | 30 | 18 |
| [30，40) | 36 | 24 |
| [40，50) | 12 | 9 |
| [50,60] | 4 | 3 |
(1)若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求各年齡段應分別抽取的人數，并估計全廠工人的平均年齡；
(2)隨機從年齡段[20，30)和[30,40)中各抽取1人，求這兩人中至少有一人在A、B兩項培訓結業考試成績為優秀的概率。
（本小題滿分12分）某工廠有120名工人，其年齡都在20～60歲之間，各年齡段人數按[20，30)，[30,40)，[40，50)，[50，60]分組，其頻率分布直方圖如下圖所示.工廠為了開發新產品，引進了新的生產設備，要求每個工人都要參加A、B兩項培訓，培訓結束后進行結業考試，已知各年齡段兩項培訓結業考試成績優秀的人數如下表所示.假設兩項培訓是相互獨立的，結業考試也互不影響。
| 年齡分組 | A項培訓成績優秀人數 | B項培訓成績優秀人數 |
| [20，30) | 30 | 18 |
| [30，40) | 36 | 24 |
| [40，50) | 12 | 9 |
| [50,60] | 4 | 3 |
(1)若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求各年齡段應分別抽取的人數，并估計全廠工人的平均年齡；
(2)隨機從年齡段[20，30)和[30,40)中各抽取1人，設這兩人中A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的人數為X，求X的分布列和數學期望。
（本小題滿分14分）
某工廠生產一種產品的成本費由三部分組成：
① 職工工資固定支出
元；② 原材料費每件40元；
③ 電力與機器保養等費用為每件
元，其中
是該廠生產這種產品的總件數.
（1）把每件產品的成本費
（元）表示成產品件數的函數，并求每件產品的最低成本費；
（2）如果該廠生產的這種產品的數量不超過
件，且產品能全部銷售．根據市場調查：每件產品的銷售價
與產品件數有如下關系：
，試問生產多少件產品，總利潤最高？（總利潤=總銷售額—總的成本）
1. －
2. 
3.
4.
5. 
6.
或
7. ④
8. 
9. 
10. （２，４］ 11. （28，44） 12. 
13. 5 14. m>
15.（1）【證明】∵△PAB中， D為AB中點，M為PB中點，∴
∵DM
平面
，PA
平面，∴
平面
……3分
（2）【證明】∵D是AB的中點，△PDB是正三角形，AB=20，
∴
……4分
∴△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，……5分
又∵AP⊥PC，
……6分
∴AP⊥平面PBC．∴AP⊥BC．……8分
又∵AC⊥BC， AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．……9分
∵
∴平面PAC⊥平面ABC．……10分
（3）【解】由（1）知，由（2）知PA⊥平面PBC，
∴DM⊥平面PBC．……11分
∵正三角形PDB中易求得
，
……13分
∴
……14分
16．解：（Ⅰ）∵
………………………………………………………………4分
又∵
……………………………………6分
即 
∴ymax=5， ymin=3 …………………………………………………………………8分
（Ⅱ）∵
……………………………10分
又∵P為q的充分條件 ∴ 
………………………………………13分
解得 3<m<5 ……………………………………………………………………14分
17. 解：（1）由題意知，需加工G型裝置4000個，加工H型裝置3000個，所用工人分別為x人，（216－x）人.
∴g（x）=
，h（x）=
，
即g（x）=
，h（x）=
（0＜x＜216，x∈N*）. ……………………4分
（2）g（x）－h（x）=－=
.
∵0＜x＜216，
∴216－x＞0.
當0＜x≤86時，432－5x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
當87≤x＜216時，432－5x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）.
∴f（x）=
……………………8分
（3）完成總任務所用時間最少即求f（x）的最小值.
當0＜x≤86時，f（x）遞減，
∴f（x）≥f（86）=
=
.
∴f（x）min=f（86），此時216－x=130.
當87≤x＜216時，f（x）遞增，
∴f（x）≥f（87）=
=.
∴f（x）min=f（87），此時216－x=129.
∴f（x）min=f（86）=f（87）=.
∴加工G型裝置，H型裝置的人數分別為86、130或87、129……………………14分
18. （Ⅰ）由題設知
由于
，則有
，所以點
的坐標為
……..2分
故
所在直線方程為
…………3分
所以坐標原點
到直線的距離為
又
，所以
解得：
…………5分
所求橢圓的方程為
…………6分
（Ⅱ）由題意可知直線
的斜率存在，設直線斜率為
直線的方程為
，則有
…………8分
設
，由于
、
、
三點共線，且
根據題意得
,解得
或
…………14分
又在橢圓
上，故
或
解得
,綜上，直線的斜率為
或
…………16分
19. 解：（1）由已知，
（
，
），
即
（，），且
．
∴數列
是以
為首項，公差為1的等差數列．
∴
．
（2）∵，∴
，要使
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立．
（?）當
為奇數時，即
恒成立，
當且僅當
時，
有最小值為1，
∴
．
（?）當為偶數時，即
恒成立，
當且僅當
時，
有最大值
，
∴
．
即
，又
為非零整數，則
．
綜上所述，存在，使得對任意，都有
．
20.解：（I）
2分
由
得，
或
而
，列出下表
0
―
0
+
0
―
遞減
極小值
遞增
極大值
遞減
所以，當時，取得極小值，極小值等于
；
當時，取得極大值，極大值等于
；
6分
（II）設函數
、
， 不妨設
（注：若直接用
來證明至少扣1分）
10分
（III）
時，
16分
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