同學們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角．因為一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，而圓心角的度數等于它所對弧的度數，所以圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半．類似地，我們定義：頂點在圓外，并且兩邊和圓相交的角叫圓外角．如下圖，∠DPB是圓外角，那么∠DPB的度數與它所夾的兩段弧和的度數有什么關系?

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過點（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用設橢圓的方程為，由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，

所以

所以．解得。

解：⑴設橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，

所以

所以．

又，

因為，即，

所以．

即．

所以，解得．

因為A,B為不同的兩點，所以k=1/2．

于是存在直線L₁滿足條件，其方程為y=1/2x

 

已知中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;

(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關系的運用。

第一問中，可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

第二問中，

假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

 (Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得……②  ……………………9分

則．

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得．

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

某市的老城區改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經規劃調研確定，老城區改造規劃建筑用地區域可近似為半徑是R的圓面．該圓的內接四邊形ABCD是原老城區建筑用地，測量可知邊界AB＝AD＝4萬米，BC＝6萬米，CD＝2萬米．

（I）請計算原老城區建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；

（II）因地理條件的限制，邊界AD、CD不能變更，而邊界AB、BC可以調整．為了提高老城區改造建筑用地的利用率，請在上設計一點P，使得老城區改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求出其最大值．

 

 

 

某市的老城區改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經規劃調研確定，老城區改造規劃建筑用地區域可近似為半徑是R的圓面．該圓的內接四邊形ABCD是原老城區建筑用地，測量可知邊界AB＝AD＝4萬米，BC＝6萬米，CD＝2萬米．

（I）請計算原老城區建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；

（II）因地理條件的限制，邊界AD、CD不能變更，而邊界AB、BC可以調整．為了提高老城區改造建筑用地的利用率，請在上設計一點P，使得老城區改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求出其最大值．