設點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標，從而使得

；

（2）當時，若，

求證：；

（3） 當時，某同學對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發現其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數，試構造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設，分別過作

拋物線的準線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質上只需構造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標（）滿足 ”，即：

“當時，若，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設，

分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數，關于軸對稱”，即：

“當時，若，且點與點為偶數，關于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）

 

設有一列北上的火車，已知�？康恼居赡现帘狈謩e為S₁,S₂,…,S₁₀等10站.若甲在S₃站買票，乙在S₆站買票.設基本事件空間Ω表示火車所有可能�？康恼�，令A表示甲可能到達的站的集合，B表示乙可能到達的站的集合.

（1）你能寫出該事件的基本事件空間Ω嗎？

（2）寫出事件A、事件B包含的基本事件.

（3）鐵路局需要為該列車準備多少種北上的車票？

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f′′（x）是函數y=f（x）的導函數y=f′（x）的導數，若f′′（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．現已知f（x）=x³-3x²+2x-2，請解答下列問題：
（Ⅰ）求函數f（x）的“拐點”A的坐標；
（Ⅱ）求證f（x）的圖象關于“拐點”A 對稱；并寫出對于任意的三次函數都成立的有關“拐點”的一個結論（此結論不要求證明）；
（Ⅲ）若另一個三次函數G（x）的“拐點”為B（0，1），且一次項系數為0，當x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）時，試比較

G(x1)+G(x2)

2

與G(

x1+x2

2

)的大�。�

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f′′（x）是函數y=f（x）的導函數y=f′（x）的導數，若f′′（x）=0有實數解x，則稱點（x，f（x））為函數y=f（x）的“拐點”．現已知f（x）=x³-3x²+2x-2，請解答下列問題：
（Ⅰ）求函數f（x）的“拐點”A的坐標；
（Ⅱ）求證f（x）的圖象關于“拐點”A 對稱；并寫出對于任意的三次函數都成立的有關“拐點”的一個結論（此結論不要求證明）；
（Ⅲ）若另一個三次函數G（x）的“拐點”為B（0，1），且一次項系數為0，當x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）時，試比較與的大小．

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f′′（x）是函數y=f（x）的導函數y=f′（x）的導數，若f′′（x）=0有實數解x，則稱點（x，f（x））為函數y=f（x）的“拐點”．現已知f（x）=x³-3x²+2x-2，請解答下列問題：
（Ⅰ）求函數f（x）的“拐點”A的坐標；
（Ⅱ）求證f（x）的圖象關于“拐點”A 對稱；并寫出對于任意的三次函數都成立的有關“拐點”的一個結論（此結論不要求證明）；
（Ⅲ）若另一個三次函數G（x）的“拐點”為B（0，1），且一次項系數為0，當x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）時，試比較與的大�。�