等差數列{a}是遞增數列，前n項和為S_n，且a₁，a₂，a₅成等比數列，S5=a32．
（1）求通項a_n；
（2）令b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)，設T_n=b₁+b₂+…+b_n-n，若M＞T_n＞m對一切正整數n恒成立，求實數M、m的取值范圍；
（3）試構造一個函數g（x），使f(n)=a1g(1)+a2g(2)+…+ang(n)＜

1

3

(n∈N+)恒成立，且對任意的m∈(

1

4

，

1

3

)，均存在正整數N，使得當n＞N時，f（n）＞m．

（2010•濰坊三模）設數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N，Sn=n2+

1

2

an．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=λqan+λ（λ，q為常數，q＞0且q≠1），c_n=（b₁+b₂+…+b_n）+n+3，當數列{c_n}為等比數列時，求實數對（λ，q）的值；
（3）若不等式(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)

an+1

＜a-

3

2a

對一切n∈N*都成立，求a的取值范圍．

（2013•寶山區二模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=a（a≠3），an+1=Sn+3n，設bn=Sn-3n，n∈N^*．
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求實數a的最小值；
（3）當a=4時，給出一個新數列{e_n}，其中en=

3 ， n=1 bn ， n≥2

，設這個新數列的前n項和為C_n，若C_n可以寫成t^p（t，p∈N^*且t＞1，p＞1）的形式，則稱C_n為“指數型和”．問{C_n}中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．