如圖，四邊形中，，，過的中點作的垂線，交的延長線于．

求證：（1）四邊形是菱形．

（2）．

如圖，四邊形中，，，過的中點作的垂線，交的延長線于．

求證：（1）四邊形是菱形．

（2）．

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=

5

．點M從點B開始，以每秒2個單位長的速度向點C運動；點N從點D開始，以每秒1個單位長的速度向點A運動，若點M，N同時開始運動，點M與點C不重合，運動時間為t（t＞0）．過點N作NP垂直于BC，交BC于點P，交AC于點Q，連接MQ．
（1）用含t的代數式表示QP的長；
（2）設△CMQ的面積為S，求出S與t的函數關系式；
（3）求出t為何值時，△CMQ為等腰三角形？

如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0）、B（3，4）、C（0，4），點M從O出發以每秒2個單位的速度向A運動，點N從B同時出發以每秒1個單位的速度向C運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，過點N作NP⊥x軸于點P，連接AC交NP于Q，連接MQ、設運動時間為t秒，
（1）求AC所在直線的解析式；
（2）請用含t的代數式直接寫出點Q的坐標；
（3）試寫出△AQM的面積S與時間t的函數關系式，并求出其最大面積；
（4）是否存在點M，使△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．