∴數列的通項公式為. -----6分(本小問也可以使用數學歸納法) 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知遞增等差數列滿足:,且成等比數列.

(1)求數列的通項公式;

(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數的最小值,并證明.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中,利用設數列公差為,

由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當時,;當時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

解:(1)設數列公差為,由題意可知,即,

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等價于

時,;當時,;

,所以猜想,的最小值為.     …………8分

下證不等式對任意恒成立.

方法一:數學歸納法.

時,,成立.

假設當時,不等式成立,

時,, …………10分

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分

方法二:單調性證明.

要證 

只要證  ,  

設數列的通項公式,        …………10分

,    …………12分

所以對,都有,可知數列為單調遞減數列.

,所以恒成立,

的最小值為

 

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(本題滿分18分,第(1)小題6分,第(2)小題6分,第(3)小題6分)

若數列滿足:是常數),則稱數列為二階線性遞推數列,且定義方程為數列的特征方程,方程的根稱為特征根; 數列的通項公式均可用特征根求得:

①若方程有兩相異實根,則數列通項可以寫成,(其中是待定常數);

②若方程有兩相同實根,則數列通項可以寫成,(其中是待定常數);

再利用可求得,進而求得

根據上述結論求下列問題:

(1)當,)時,求數列的通項公式;

(2)當,)時,求數列的通項公式;

(3)當)時,記,若能被數整除,求所有滿足條件的正整數的取值集合.

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(本題滿分18分,第(1)小題6分,第(2)小題6分,第(3)小題6分)
若數列滿足:是常數),則稱數列為二階線性遞推數列,且定義方程為數列的特征方程,方程的根稱為特征根; 數列的通項公式均可用特征根求得:
①若方程有兩相異實根,則數列通項可以寫成,(其中是待定常數);
②若方程有兩相同實根,則數列通項可以寫成,(其中是待定常數);
再利用可求得,進而求得
根據上述結論求下列問題:
(1)當,)時,求數列的通項公式;
(2)當)時,求數列的通項公式;
(3)當,)時,記,若能被數整除,求所有滿足條件的正整數的取值集合.

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