已知平行于x軸的直線y=a（a≠0）與函數y=x和函數y=

1

x

的圖象分別交于點A和點B，又有定點P（2，0）．
（1）若a＞0，且tan∠POB=

1

9

，求線段AB的長；
（2）在過A，B兩點且頂點在直線y=x上的拋物線中，已知線段AB=

8

3

，且在它的對稱軸左邊時，y隨著x的增大而增大，試求出滿足條件的拋物線的解析式；
（3）已知經過A，B，P三點的拋物線，平移后能得到y=

9

5

x²的圖象，求點P到直線AB的距離．

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+c經過坐標原點，與x軸的另一個交點為A，且頂點M坐標為（1，2），
（1）求該拋物線的解析式；
（2）現將它向右平移m（m＞0）個單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點，與原拋物線交于點P，△CDP的面積為S，求S關于m的關系式；
（3）如圖②，以點A為圓心，以線段OA為半徑畫圓，交拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸于點B，連接AB，若將拋物線向右平移m（m＞0）個單位后，B點的對應點為B′，A點的對應點為A′點，且滿足四邊形BAA′B′為菱形，平移后的拋物線的對稱軸與菱形的對角線BA′交于點E，在x軸上是否存在一點F，使得以E、F、A′為頂點的三角形與△BAE相似？若存在，求出F點坐標；若不存在，說明理由．