在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），頂點為B．艾思軻同學用一把寬3cm的矩形直尺對拋物線進行如下測量：（1）量得OA=3cm，（2）當把直尺的左邊與拋物線的對稱抽重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合時（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點C的刻度讀數為4.5cm．
艾思軻同學將A的坐標記作（3，0），然后利用上述結論嘗試完成下列各題：
（1）寫出拋物線的對稱軸；
（2）求出該拋物線的解析式；
（3）探究拋物線的對稱軸上是否存在使△ACD周長最小的點D；
（4）然后又將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點A的右邊（如圖2），直尺的兩邊交x軸于點H，G，交拋物線于E，F，探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長度是否存在函數關系．
同學：如上述（3）（4）結論存在，請你幫艾思軻同學一起完成，如上述（3）（4）結論不存在，請你告訴艾思軻同學結論不存在的理由．

已知：在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-2x+3（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為直線x=-1（如圖1）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）P是y軸上一點，若△PBC與△BOC相似，求點P的坐標；
（3）連接AD、BD（如圖2），點M是AD上的一個動點，過點M作MN∥AB交BD于點N，把△DMN沿MN折疊得△D′MN，設△D′MN與△ABD的重疊部分的面積為S，請探究：S的最大值．

已知：在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-2x+3（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為直線x=-1（如圖1）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）P是y軸上一點，若△PBC與△BOC相似，求點P的坐標；
（3）連接AD、BD（如圖2），點M是AD上的一個動點，過點M作MN∥AB交BD于點N，把△DMN沿MN折疊得△D′MN，設△D′MN與△ABD的重疊部分的面積為S，請探究：S的最大值．