（本題滿分10分）

情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是  ▲   ，∠CAC′=  ▲   °．

問題探究

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分

別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等

腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為

P、Q.試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論.

拓展延伸

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數量關系，并說明理由.

（本題滿分10分），觀察按下列規則排成的一列數：

（1）在這列數中，從左起第m個數記為F（m）， 時，求m的值和這m個數的積。

（2）在這列數中，未經約分且分母為2的數記為C，它后面的一個數記為d，是否存在這樣的兩個數c和d，使cd=2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，請說明理由。

（本題滿分10分）在平面直角坐標系中，點P從原點O出發，每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度．

（1）實驗操作： 在平面直角坐標系中描出點P從點O出發，平移1次后，2次后，3次后可能到達的點，并把相應點的坐標填寫在表格中：

（2）觀察發現：任一次平移，點P可能到達的點在我們學過的一種函數的圖象上，如：平移1次后在函數               的圖象上；平移2次后在函數              的圖象上……由此我們知道，平移次后在函數              的圖象上．（請填寫相應的解析式）

（3）探索運用：點P從點O出發經過次平移后，到達直線上的點Q，且平移的路徑長不小于50，不超過56，求點Q的坐標．