如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．點P從O點出發，以每秒2個單位長度的速度向A運動，同時點Q從B點出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點Q作 QD丄x軸，垂足為點D，交AC于點E．
（1）求△APE的面積S與運動時間t（單位：秒）的函數關系式，并寫出自變量t的 取值范圍；
（2）當t為何值時，S的值最大；
（3）是否存在點P，使得△APE為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

（2008•白下區二模）如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．點P從O點出發，以每秒2個單位長度的速度向A運動，同時點Q從B點出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點Q作 QD丄x軸，垂足為點D，交AC于點E．
（1）求△APE的面積S與運動時間t（單位：秒）的函數關系式，并寫出自變量t的 取值范圍；
（2）當t為何值時，S的值最大；
（3）是否存在點P，使得△APE為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．