如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；
（2）若直線y=kx+t經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請探索：在x軸上方是否存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（1）嘗試：如圖，已知A、E、B三點在同一直線上，且∠A=∠B=∠DEC=90°，
求證：AE•BE=AD•BC．
（2）一位同學在嘗試了上題后還發現：如圖2、圖3，只要A、E、B三點在同一直線上，且∠A=∠B=∠DEC，則（1）中結論總成立．你同意嗎？請選擇其中之一說明理由．

（3）運用：如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=4，BC=9，P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），連接AP，過點P作PE交CD于點E，使得∠APE=∠ABC．則當BP為何值時，點E為CD的中點．