如圖①所示，將一個正三角形紙片沿著它的一條邊上的高剪開，得到如圖②所示的兩個全等的Rt△ABC、Rt△DEF．

(1)根據正三角形的性質可知：在圖②中，∠ABC＝∠DEF＝30°，AB＝DE＝2AC＝2DF．由此請你歸納一下在含30°角的直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊之間的關系：

在含30°角的直角三角形中，30°角所對的直角邊________；

(2)將這兩個直角三角形紙片按如圖③放置，使點B、D重合，點F在BC上．固定紙片DEF，將△ABC繞點F逆時針旋轉角α(0°＜α＜90°)，使四邊形ACDE為以ED為底的梯形(如圖④所示)，求此時α的值；

(3)猜想圖④中AE與CD之間的大小關系，并說明理由．

下圖①是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和疊放在一起(C與重合)．

(1)操作：固定△ABC，將△繞點C順時針旋轉30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于點F(如圖②)．

探究：在圖②中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試證明你的結論．

(2)操作：將圖②中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，CF為∠ACB的平分線，平移后的△CDE設為△PQR(如圖③)．

探究：設△PQR移動的時間為xs，△PQR與△AFC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出函數自變量x的取值范圍．

(3)操作：將圖①中△固定，將△ABC移動，使頂點C落在的中點，邊BC交于點M，邊AC交于點N，設∠AC＝α(30°＜α＜90°)(如圖④)．

探究：在圖④中，線段N·M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請求出N·M的值；如果有變化，請說明理由．

劉衛同學在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6 cm；圖②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4 cm．圖③是劉衛同學所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時點D與點A重合)．

(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛同學發現：F、C兩點間的距離逐漸________．

(填“不變”、“變大”或“變小”)

(2)劉衛同學經過進一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F、C的連線與AB平行？

問題②：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，

求出AD的長度；如果不存在，請說明理由．

請你分別完成上述三個問題的解答過程．