已知是等差數列，其前n項和為S_n，是等比數列，且，.

（Ⅰ）求數列與的通項公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數學歸納法）

①  當n=1時，，，故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立，即，則當n=k+1時，有：

   

   

即，因此n=k+1時等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.

 

如圖，是△的重心，、分別是邊、上的動點，且、、三點共線．

（1）設，將用、、表示；

（2）設，，證明：是定值；

（3）記△與△的面積分別為、．求的取值范圍．

（提示：

【解析】第一問中利用（1）

第二問中，由（1），得；①

另一方面，∵是△的重心，

∴

而、不共線，∴由①、②，得

第三問中，

由點、的定義知，，

且時，；時，．此時，均有．

  時，．此時，均有．

以下證明：，結合作差法得到。

解：（1）

．

（2）一方面，由（1），得；①

另一方面，∵是△的重心，

∴．  ②

而、不共線，∴由①、②，得 

解之，得，∴（定值）．

（3）．

由點、的定義知，，

且時，；時，．此時，均有．

  時，．此時，均有．

以下證明：．（法一）由（2）知，

∵，∴．

∵，∴．

∴的取值范圍

 

已知雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，實軸長為2．一條斜率為1的直線經過雙曲線的右焦點與雙曲線相交于A、B兩點，以AB為直徑的圓與雙曲線的右準線相交于M、N．
（1）若雙曲線的離心率2，求圓的半徑；
（2）設AB中點為H，若

HM

•

HN

=-

16

3

，求雙曲線方程．

某校數學課外活動小組有高一學生10人，高二學生8人，高三學生7人.

(1)選其中1人為總負責人，有多少種不同的選法?

(2)每一年級各選1名組長，有多少種不同的選法?

(3)推選出其中2人去外校參觀學習，要求這2人來自不同年級，有多少種不同的選法?