（ 14 分） 受轎車在保修期內維修費等因素的影響， 企業產生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關，某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為 2 年，現從該廠已售出的兩 種品牌轎車中隨機抽取 50 輛，統計數據如下：

將頻率視為概率，解答下列問題：

（I）從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率；

(II)若該廠生產的轎車均能售出，記住生產一輛甲品牌轎車的利潤為 ，生產一輛乙品牌轎 車的利潤為 ，分別求 ， 的分布列 ；

（III）該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產其中一 種品牌轎 車，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該產生哪種品牌的轎車？說明理由.

 

(本小題滿分14分)

因發生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據環保部門的建議,現決定在漁塘中投放一種可與污染液體發生化學反應的藥劑.已知每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數關系式近似為,其中.

若多次投放,則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和.根據經驗,

當水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.

（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑,則有效治污時間可達幾天?

（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數據:取1.4).

          

           

          

（本小題滿分14分）

有一隧道既是交通擁擠地段，又是事故多發地段.為了保證安全，交通部門規定，隧道內的車距正比于車速的平方與車身長的積，且車距不得小于一個車身長（假設所有車身長均為）.而當車速為時，車距為1.44個車身長.

⑴求通過隧道的最低車速；

⑵在交通繁忙時，應規定怎樣的車速，可以使隧道在單位時段內通過的汽車數量最多？

已知函數 R)．

（Ⅰ）若 ，求曲線  在點  處的的切線方程；

（Ⅱ）若  對任意  恒成立，求實數a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。

第一問中，利用當時，．

因為切點為（）， 則，                 

所以在點（）處的曲線的切線方程為：

第二問中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當時，．

，                                  

因為切點為（）， 則，                  

所以在點（）處的曲線的切線方程為：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，           

因為，所以恒成立，

故在上單調遞增，                            ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）當時，在上恒成立，

故在上單調遞增，

即．                  ……10分

（2）當時，令，對稱軸，

則在上單調遞增，又    

① 當，即時，在上恒成立，

所以在單調遞增，

即，不合題意，舍去  

②當時，， 不合題意，舍去 14分

綜上所述： 

 

已知遞增等差數列滿足：，且成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當時，；當時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數學歸納法．

當時，，成立．

假設當時，不等式成立，

當時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調性證明．

要證 

只要證  ，  

設數列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數列為單調遞減數列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．