22． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

已知函數。

（1）證明：

（2）若數列的通項公式為，求數列 的前項和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）設數列滿足：，設，

若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數，恒成立，

試求的最大值。

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（本小題滿分14分）已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當，求直線的方程.

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（本小題滿分14分）設函數

 （1）求函數的單調區間；

 （2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 （3）若關于的方程在區間上恰好有兩個相異的實根，求實數的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數，

（1）討論時, 的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分14分）

設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。

（I）求數列的通項公式；

（II）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

（III）設數列的前項和為。已知正實數滿足：對任意正整數恒成立，求的最小值。

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第I卷（選擇題 共60分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

1―6ADBADC  7―12ABCBBC

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

二、填空題（每小題4分，共16分）

13．2  14．   15．  16．①③

三、解答題（本大題共6小題，共74分）

17．解：（I）

      

      

          4分

       又    2分

   （II）    

           2分

      

      

              3分

18．（I）證明：由題意可知CD、CB、CE兩兩垂直。

       可建立如圖所示的空間直角坐標系

       則       2分

       由  1分

      

      

       又平面BDF，

       平面BDF。       2分

   （Ⅱ）解：設異面直線CM與FD所成角的大小為

      

      

       。

       即異面直線CM與FD所成角的大小為   3分

   （III）解：平面ADF，

       平面ADF的法向量為      1分

       設平面BDF的法向量為

       由

            1分

      

          1分

       由圖可知二面角A―DF―B的大小為   1分

19．解：（I）設該小組中有n個女生，根據題意，得

      

       解得n=6,n=4（舍去）

       該小組中有6個女生。        5分

   （II）由題意，的取值為0，1，2，3。      1分

      

      

      

             4分

       的分布列為：

0

1

2

3

P

       …………1分

        3分

20．解：（I）到漸近線=0的距離為，兩條準線之間的距離為1，

               3分

            1分

   （II）由題意，知直線AB的斜率必存在。

       設直線AB的方程為

       由，

       顯然

      

             2分

       由雙曲線和□ABCD的對稱性，可知A與C、B與D關于原點對稱。

       而    1分

           

       點O到直線的距離   2分

      

      

      

               1分

21．解：（I）

      

              3分

   （Ⅱ）     1分

      

       上單調遞增；

       又當

       上單調遞減。      1分

       只能為的單調遞減區間，

      

       的最小值為0。

   （III）

      

      

       于是函數是否存在極值點轉化為對方程內根的討論。

       而

            1分

       ①當

       此時有且只有一個實根

                           

       存在極小值點     1分

       ②當

       當單調遞減；

       當單調遞增。

             1分

       ③當

       此時有兩個不等實根

      

       單調遞增，

       單調遞減，

       當單調遞增，

       ，

       存在極小值點      1分

       綜上所述，對時，

       存在極小值點

       當    

       當存在極小值點

       存在極大值點      1分

   （注：本小題可用二次方程根的分布求解。）

22．（I）解：由題意，      1分

             1

       為首項，為公比的等比數列。

                 1分

            1分

   （Ⅱ）證明：

      

      

       構造輔助函數

      

       單調遞增，

      

       令

       則

      

               4分

   （III）證明：

      

      

      

       時，

      

      

       （當且僅當n=1時取等號）。      3分

       另一方面，當時，

      

      

      

      

      

      

       （當且僅當時取等號）。

       （當且僅當時取等號）。

       綜上所述，有      3分

 


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