已知函數．
（I）求函數F（x）的單調區間；
（II）若以函數y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率恒成立，求實數a的最小值；
（III）是否存在實數m，使得函數的圖象與函數y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

              3分

18．（I）證明：由題意可知CD、CB、CE兩兩垂直。

       可建立如圖所示的空間直角坐標系

       則       2分

       由  1分

       又平面BDF，

       平面BDF。       2分

   （Ⅱ）解：設異面直線CM與FD所成角的大小為

       。

       即異面直線CM與FD所成角的大小為   3分

   （III）解：平面ADF，

       平面ADF的法向量為      1分

       設平面BDF的法向量為

       由

            1分

          1分

       由圖可知二面角A―DF―B的大小為   1分

19．解：（I）設該小組中有n個女生，根據題意，得

       解得n=6,n=4（舍去）

       該小組中有6個女生。        5分

   （II）由題意，的取值為0，1，2，3。      1分

             4分

       的分布列為：

0

1

2

3

P

       …………1分

        3分

20．解：（I）到漸近線=0的距離為，兩條準線之間的距離為1，

               3分

            1分

   （II）由題意，知直線AB的斜率必存在。

       設直線AB的方程為

       由，

       顯然

             2分

       由雙曲線和□ABCD的對稱性，可知A與C、B與D關于原點對稱。

       而    1分

       點O到直線的距離   2分

               1分

21．解：（I）

              3分

   （Ⅱ）     1分

       上單調遞增；

       又當

       上單調遞減。      1分

       只能為的單調遞減區間，

       的最小值為0。

   （III）

       于是函數是否存在極值點轉化為對方程內根的討論。

       而

            1分

       ①當

       此時有且只有一個實根

       存在極小值點     1分

       ②當

       當單調遞減；

       當單調遞增。

             1分

       ③當

       此時有兩個不等實根

       單調遞增，

       單調遞減，

       當單調遞增，

       ，

       存在極小值點      1分

       綜上所述，對時，

       存在極小值點

       當    

       當存在極小值點

       存在極大值點      1分

   （注：本小題可用二次方程根的分布求解。）

22．（I）解：由題意，      1分

             1

       為首項，為公比的等比數列。

                 1分

            1分

   （Ⅱ）證明：

       構造輔助函數

       單調遞增，

       令

       則

               4分

   （III）證明：

       時，

       （當且僅當n=1時取等號）。      3分

       另一方面，當時，

       （當且僅當時取等號）。

       （當且僅當時取等號）。

       綜上所述，有      3分