學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球，2個黑球，乙箱子里裝有1個白球，2個黑球，這些球除顏色外完全相同。每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結束后將球放回原箱)

(1)求在一次游戲中

①摸出3個白球的概率；②獲獎的概率。

(2)求在兩次游戲中獲獎次數X的分布列及數學期望E(x)。

【解析】(1)  ①摸出3個白球，只有甲箱摸2個白球，乙箱摸一個白球；②不少于2個包括2個白球或3個白球。(2)符合幾何分別。

 

已知函數的最小值為0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實數的最小值；

（Ⅲ）證明（）.

【解析】(1)解： 的定義域為

由，得

當x變化時，，的變化情況如下表：

x
	-	0	+
		極小值

因此，在處取得最小值，故由題意，所以

（2）解：當時，取，有，故時不合題意.當時，令，即

令，得

①當時，，在上恒成立。因此在上單調遞減.從而對于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.

②當時，，對于，，故在上單調遞增.因此當取時，，即不成立.

故不合題意.

綜上，k的最小值為.

（3）證明：當n=1時，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.

當時，

                      

                      

在（2）中取，得 ，

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上，，

 

設數列的各項均為正數.若對任意的，存在，使得成立，則稱數列為“J_k型”數列．

（1）若數列是“J₂型”數列，且，，求；

（2）若數列既是“J₃型”數列，又是“J₄型”數列，證明：數列是等比數列.

【解析】1）中由題意，得，，，，…成等比數列，且公比，

所以．

（2）中證明：由{}是“j₄型”數列，得，…成等比數列，設公比為t. 由{}是“j₃型”數列，得

，…成等比數列，設公比為；

，…成等比數列，設公比為；

…成等比數列，設公比為；

 

某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量關于行駛速度的函數解析式可以表示為：．已知甲、乙兩地相距，設汽車的行駛速度為，從甲地到乙地所需時間為，耗油量為．

（1）求函數及；

（2）求當為多少時，取得最小值，并求出這個最小值．

【解析】(1) ,根據可求出y=f(x).

(2)求導，根據導數確定其最小值.

 

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC、AD的中點.

（1）求證：DE∥平面PFB；

（2）已知二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】(1)證：DE//BF即可；

（2）可以利用向量法根據二面角P-BF-C的余弦值為,確定高PD的值，即可求出四棱錐的體積.也可利用傳統方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角時，要考慮運用三垂線或逆定理.