Question

【題目】把1到1997這1997個數，按順時針方向依次排列在一個圓圈上（如圖）．從1開始按順時針方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；…（每隔一個數，擦去一個數）轉圈擦下去，最后剩的是哪個數？

Answer 1

【答案】最后剩下的數應是1947

【解析】

試題分析：如果依照題意在上圖中進行操作，直到剩下一個數為止，實在是很困難的．我們還應從最簡單的情況入手分析，歸納出解決問題的規律，再用此規律解題．

解：如果是2個數1，2，最后剩下1；如果是3個數1，2，3，最后剩下3；如果是4個數1，2，3，4，最后剩下1；如果是5個數1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6個數1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1﹣7，7個數，最后剩下7；如果是1﹣8，8個數，最后剩下1．

我們發現當數的個數是2，4，8時，最后剩下的都是1．實際上，當數的個數為2n時（n≥2），當擦完一圈后還剩2n﹣1個數，把問題化成2n﹣1個數的情況．不斷作下去，最后化為2個數的情況，顯然最后剩下的數為1（1為起始數）．

由于210=1024，211=2048，210＜1997＜211，1997﹣1024=973．

這就是說，要剩210個數，需要先擦去973個數．按題意，每兩個數擦去一個數，當擦第973個數時，最后擦去的數是：973×2=1946．

下一個起始數是1947，所以，最后剩下的數應是1947．