Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合.

求橢圓的方程；

設橢圓的上頂點為，過點作橢圓的兩條動弦，若直線斜率之積為，直線是否一定經過一定點?若經過，求出該定點坐標；若不經過，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）恒過一定點.

【解析】試題分析：（1）可設橢圓方程為,因為橢圓的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合，所以，又，所以，又因，得，所以橢圓方程為；

（2）由（1）知，當直線的斜率不存在時，可設，設，則，

易得，不合題意；故直線的斜率存在.設直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得：①，設，則是方程①的兩根，由韋達定理，由，利用韋達定理代入整理得，又因為，所以，此時直線的方程為，即可得出直線的定點坐標.

（1）由題意可設橢圓方程為,

因為橢圓的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合，所以，

又，所以，

又因，得，

所以橢圓方程為；

（2）由（1）知，

當直線的斜率不存在時，設，設，則，

，不合題意.

故直線的斜率存在.設直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得：

①

由得②

設，則是方程①的兩根，由韋達定理

，

由得：

，

即，整理得

，

又因為，所以，此時直線的方程為.

所以直線恒過一定點