Question

【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，離心率為，過點且垂直于長軸的弦長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點分別是橢圓的左、右頂點，若過點的直線與橢圓相交于不同兩點．

①求證：；

②求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）見解析；（ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據離心率與垂直于長軸的弦長列出方程，求得的值，從而得到橢圓方程；（II）方法一：（i）分直線的斜率是否為0討論，當時，設，直線的方程為，聯立橢圓方程，結合判別式求得的范圍，從而由使問題得證；（ii）由＝結合（ⅰ）用韋達定理寫出表達式，利用基本不等式求出最大值；方法二：（i）由題意知直線的斜率存在，設其方程為，聯立橢圓方程，由判別式求得的取值范圍，從而由使問題得證；（ii）由弦長公式求得，用點到直線的距離求得邊上的高線長，從而得到的表達式，進而用換元法求解．

試題解析：解：（1）， 又，

所以．

所以橢圓的標準方程為

（2）（i）當AB的斜率為0時，顯然，滿足題意

當AB的斜率不為0時，設，AB方程為代入橢圓方程

整理得，則，所以

，

，即

（ii）

當且僅當，即．（此時適合△＞0的條件）取得等號．

三角形面積的最大值是

方法二（i）由題知，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為：，

設，聯立，整理得，

則，所以

，

，即

（ii）

點到直線的距離為，

=

．

令，則，

當且僅當，即（此時適合△＞0的條件）時，，即

三角形面積的最大值是