Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的兩個焦點分別是，直線與橢圓交于兩點．

（1）若為橢圓短軸上的一個頂點，且是直角三角形，求的值；

（2）若，且是以為直角頂點的直角三角形，求與滿足的關系；

（3）若，且，求證： 的面積為定值．

Answer 1

【答案】(1) 或；（2） ；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據為等腰直角三角形，可得，兩種情況討論，可得的值為 或；（2）當時， ，設，

由，即，由韋達定理及平面向量數量積公式可得結果；（3）由可得，結合韋達定理可得，根據以上結論，利用三角形面積公式化簡即可得結論.

試題解析：（1）∵M為橢圓短軸上的一個頂點，且△MF1F2是直角三角形，

∴△MF1F2為等腰直角三角形，

∴OF1=OM，

當a＞1時，=1，解得a=，

當0＜a＜1時，=a，解得a=，

（2）當k=1時，y=x+m，設A（x1，y1），（x2，y2），

由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，

∵△OAB是以O為直角頂點的直角三角形，

∴=0，

∴x1x2+y1y2=0，

∴+=0，

∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0

∴m2（a2+1）=2a2，

（3）證明：當a=2時，x2+4y2=4，

設A（x1，y1），（x2，y2），

∵kOAkOB=﹣，

∴=﹣，

∴x1x2=﹣4y1y2，

由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．

∴x1+x2=，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2

=++m2=，

∴=﹣4×，

∴2m2﹣4k2=1，

∴|AB|==

=2=

∵O到直線y=kx+m的距離d==，

∴S△OAB=|AB|d====1.