Question

想一想，填一填．
（1）分母是15的最簡真分數的和是

4

．
（2）1～1000中，能被2或3整除的數有

667

個．
（3）把

15

7

化成小數，小數部分第100位上的數是

8

．
（4）一個數與它自己相加、相減、相除，所得的和、差、商的和是4017．這個數是

2008

．
（5）有一個最簡分數，若給它的分子加上2，可化簡為

3

10

；若給它的分母減去2，可化簡為

1

4

．那么原來這個分數是

7

30

．

Answer 1

分析：（1）根據最簡真分數的意義，分子小于分母且分子和分母是互質數的分數叫做最簡真分數．據此找出分母是15的最簡真分數，再求出它們的和即可．
（2）根據同時能被2或3整除的數的特征，個位上必須是偶數且各位上的數字質和是3的倍數，用能被2整除的數的個數加上能被3整除的數的個數，再減去能被6整除的數的個數即可．據此解答．
（3）首先把

15

7

化成小數，再看它的循環節是幾位數，用100除以循環周期，如果能整除則是直接的末位數字，如果有余數，余數是幾就從循環節的首位數出第幾位，該位上數字即是所求數字．
（4）根據題意可知，一個自然數與它自己相加的和是這個數的2倍，一個自然數與它自己相減的差是0，一個自然數與它自己相除的商是1；那么用所得的和、差、商的結果減去1，就是這個數的2倍，再除以2就是這個自然數．
（5）假設原來的最簡分數是

b

a

，根據“若分子加上2，約分后為

3

10

”，原分數就變為

b+2

10

，與

3

10

相等；再根據“若分母減去2，約分后為

1

4

”，原分數就變為

b

a-2

，與

1

4

相等；把這兩個方程進一步轉化為是求一個未知數的方程，進而求得分子和分母的數值，問題得解．

解答：解：（1）

1

15

+

2

15

+

4

15

+

7

15

+

8

15

+

11

15

+

13

15

+

14

15

=

60

15

=4；

（2）能被2整除的數有：1000÷2=500（個），
能被整除的數有：1000÷3=333（個），
能被2和3同時整除，即能被6整除的：1000÷6=166（個），
那么能被2或3整除的：500+333-166=667（個 ）；

（3）

15

7

=15÷7=2.

?

1

4285

?

7

，
100÷6=16（個周期）…4；
所以第100位上的數是8．

（4）（4017-1）÷2，
=4016÷2，
=2008．
答：這個自然數是2008．

（5）設原來的最簡分數是

b

a

，
因為

b+2

a

=

3

10

，所以a=

10b+20

3

，
因為

b

a-2

=

1

4

，所以a=4b+2，
所以

10b+20

3

=4b+2，兩邊同時乘3，
  得10b+20=12b+6，
10b+20-10b=12b+6-10b，
        20=2b+6
       20-6=2b+6-6
         14=2b
      14÷2=2b÷2
          b=7，
所以a=4b+2=4×7+2=30，
答：原來這個分數是

7

30

．
故答案為：（1）4；（2）667；（3）8；（4）2008；（5）

7

30

．

點評：此題考查的知識點特別多，目的是培養學生綜合運用知識解答問題的能力．