Question

【題目】如圖，等腰直角三角形中，，.先將繞點逆時針方向旋轉，得到，點對應點，點對應點；再將沿方向平移，得到，點、、的對應點分別是點、、，設平移的距離為，且．

（1）在圖中畫出和；

（2）記與的交點為點，與的交點為點，如果四邊形的面積是的面積的3倍，試求四邊形和的面積的比值．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）3

【解析】

（1）根據作法將AB、AC分別逆時針旋轉90°可得AB1、AC1，連接B1C1即可得；將沿方向平移，得到，因為平移的距離為，且，故要注意C2在線段C1A上；

（2）根據旋轉的性質先證四邊形AC1B1C是正方形，再根據四邊形的面積是的面積的3倍求得D為AC的中點，利用三角形是全等進行轉化即可．

（1）如圖，和就是所求的三角形．

（2）連接B1C，如圖：

由題意可得：∠CAC1=∠C1=90°，CB=CA=C1A=C1B1

∴AC∥B1C1

∴四邊形AC B1C1是平行四邊形

又∠C1=90°，CA=C1A

∴四邊形AC B1C1是正方形

∴90°

∴B1、C、B三點共線，B1C∥AC1

∴B2在B1C上

∵四邊形的面積是的面積的3倍

∴四邊形AC B2C2的面積是的面積的4倍

即

∴AC=2CD，AD=CD

又90°，

∴

∴

∴矩形的面積=矩形的面積

又90°，

∴

∴的面積是四邊形AC B2C2的面積的，即為矩形的面積的

∴四邊形是的面積的3倍

∴四邊形和的面積的比值為3 ．