Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點是軸負半軸上的一點，且，點在對稱軸右側的拋物線上運動，連接，與拋物線的對稱軸交于點，連接，當平分時，求點的坐標．

（3）直線交對稱軸于點，是坐標平面內一點，請直接寫出與全等時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為：，；（3）若與全等，點有四個，坐標為，，，．

【解析】

（1）用待定系數法，直接將代入解析式即可求解．

（2）由平分，平行即可求出，繼而得出點坐標，由直線解析式即可求出與拋物線交點坐標即可．

（3）由三點的坐標可得三邊長，由坐標可得和中，則另兩組邊對應相等即可，設點坐標為；利用兩點間距離公式即列方程求解．

（1）拋物線經過，兩點，

，

解得：，

拋物線的解析式為：．

（2）如圖1，設對稱軸與軸交于點，

平分，

，

又，

，

，

．

在中，，．

，

；．

①當時，直線解析式為：，

依題意得：．

解得：，，

點在對稱軸右側的拋物線上運動，

點縱坐標．

，

②當時，直線解析式為：，

同理可求：，

綜上所述：點的坐標為：，，

（3）由題意可知：，，，

，

，

，

直線經過，，

直線解析式為，

拋物線對稱軸為，而直線交對稱軸于點，

坐標為；

，

設點坐標為，

則，

則，

，若與全等，有兩種情況，

Ⅰ．，，即．

，

解得：，，

即點坐標為，．

Ⅱ．，，即．

，

解得：，，

即點坐標為，．

故若與全等，點有四個，坐標為，，，．