Question

【題目】已知邊長為 3 的正方形中， 點在射線上， 且，連接交射線于點，若沿直線翻折， 點落在點處 ．

（1）如圖1，若點在線段上，求的長；

（2）求的值；

（3）如果題設中“”改為“”， 其它條件都不變， 試寫出翻折后與正方形公共部分的面積與的關系式及自變量的取值范圍（只要寫出結論，不需寫出解題過程） ．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 和 ;(3) 若點在線段上，（）；若點在邊的延長線上，（）．

【解析】

（1）利用平行線分線段成比例定理求解；

（2）分兩種情況討論：①若點E在線段BC上；②若點E在邊BC的延長線上．運用勾股定理和三角函數的定義分別求解即可；

（3）分兩種情況討論：①若點E在線段BC上；②若點E在邊BC的延長線上，分別用含x的式子表示出BE和DF，利用三角形面積公式求解即可.

解：（1），

，

，，

，

；

（2）①若點在線段上，如圖1，設直線與相交于點．

由題意得：．

，

，

，

．

設，則．

又，

，

在中，，

，

，

，，

；

②若點在邊的延長線上，如圖2，設直線與延長線相交于點．

同理可得：．

，

．

，

，

，

設，則．

在中，，

，

．

，；

（3）分兩種情況：

①當點E在BC上時．

∵，BE+CE=3，

∴BE＝，

∴y＝AB·BE，即y＝（x>0）．

②當點E在BC延長線上時，△ADF的面積為所求．

∵，

∴，

又∵AB＝3，

∴FC＝，DF＝3，

∴y＝DF·AD，

∴y＝（）．

綜上所述：若點在線段上，（）；若點在邊的延長線上，（）．