Question

【題目】如圖1，正方形中， 點是的中點，過點作于點，過點作垂直的延長線于點，交于點．

（1）求證：；

（2）如圖2，連接，連接并延長交于點I，

①求證：；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）根據正方形的性質與已知條件證明，利用AAS證明；

（2）①結合（1）證明，根據相似三角形的性質進行求證；

②方法一：延長和交于點，由正方形的性質與已知條件得出四邊形是平行四邊形，，，由①得出，進而可求出，最后根據相似三角形的性質進行求解；

方法二：連接，利用直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半得出，進而證明，，根據全等三角形的性質得出，設，， 在中利用勾股定理求出x，進而求解．

解：（1）證明：四邊形是正方形，

，，

，

，的延長線于點，交于點，

，

，

，

（AAS）；

（2）①證明：，

又，

即，

，

，

，

；

②方法一：如圖，延長和交于點，

，的延長線于點，交于點，

，

四邊形是正方形，

，

四邊形是平行四邊形，，，

，

點是中點，

在中，，

，

，

點是中點，，

，

，

，

，

，

，

，

；

方法二：如圖， 連接，

點是中點，，

，，

，

，

，

，

又，

，

，

，，

，

，

設，，則，，

在中，由勾股定理得，

解得，，

，

．