Question

【題目】如圖，直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C，連接BC．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）點M在拋物線上，連接MB，當∠MBA+∠CBO＝45°時，求點M的坐標；

（3）點P從點C出發，沿線段CA由C向A運動，同時點Q從點B出發，沿線段BC由B向C運動，P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當Q點到達C點時，P、Q同時停止運動，試問在坐標平面內是否存在點D，使P、Q運動過程中的某一時刻，以C、D、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4，C（﹣3，0）；（2）滿足條件的點M的坐標為（，﹣）或（5，）；（3）存在滿足條件的點D，點D坐標為（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．

【解析】

第一問求解析式主要利用待定系數求解，利用一次函數y＝x﹣4，求解出A點坐標和B點坐標，然后代入方程即可，

第二問求解M點的坐標，需要討論，因為∠MBA+∠CBO＝45°是動態的，故當BM⊥BC時是一種情況，利用tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，可以給出等式關系，求出M點，BM與BC關于y軸對稱時是第二種情況，tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，可以出給等式關系，求出M點

第三問，需要討論，因為四個點，知曉其中三個點，可以這樣討論，當CP為菱形的邊，CQ為對角線這是第一種情況，利用解直角三角形求出Q點的縱坐標，就知道D點的縱坐標，然后利用cos∠BCO＝，建立等式即可求出菱形的邊長，利用菱形邊長和Q點橫坐標，即可得到Q點橫坐標，當CQ和CP均為菱形的邊這是第二種情況，因為CP=CQ=BQ，所以Q點在BC的中，即菱形的邊長出來了，利用解直角三角形即可給出Q點的縱坐標，知道菱形的邊長，所以D點的橫縱坐標都出來了，當CQ為菱形的邊，CP為菱形的對角線這是第三種情況，利用解直角三角形，可以給出Q點坐標，我們可以知道D點和Q點關于x軸對稱，有菱形的基本性質可以知道，所以D點坐標出來了

（1）直線解析式y＝x﹣4，

令x＝0，得y＝﹣4；

令y＝0，得x＝4．

∴A（4，0）、B（0，﹣4）．

∵點A、B在拋物線y＝x2+bx+c上，

∴

，

解得 ，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣4．

令y＝x2﹣x﹣4＝0，

解得：x＝﹣3或x＝4，

∴C（﹣3，0）．

（2）∠MBA+∠CBO＝45°，

設M（x，y），

①當BM⊥BC時，如答圖2﹣1所示．

∵∠ABO＝45°，

∴∠MBA+∠CBO＝45°，故點M滿足條件．

過點M1作M1E⊥y軸于點E，則M1E＝x，OE＝﹣y，

∴BE＝4+y．

∵tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，

∴，

∴直線BM1的解析式為：y＝x﹣4．

聯立y＝x﹣4與y＝x2﹣x﹣4，

得：x﹣4＝x2﹣x﹣4，

解得：x1＝0，x2＝ ，

∴y1＝﹣4，y2＝﹣ ，

∴M1（，﹣）；

②當BM與BC關于y軸對稱時，如答圖2﹣2所示．

∵∠ABO＝∠MBA+∠MBO＝45°，∠MBO＝∠CBO，

∴∠MBA+∠CBO＝45°，

故點M滿足條件．

過點M2作M2E⊥y軸于點E，

則M2E＝x，OE＝y，

∴BE＝4+y．

∵tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，

∴ ，

∴直線BM2的解析式為：y＝x﹣4．

聯立y＝x﹣4與y＝x2﹣x﹣4得：x﹣4＝x2﹣x﹣4，

解得：x1＝0，x2＝5，

∴y1＝﹣4，y2＝，

∴M2（5，）．

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為：（，﹣ ）或（5，）．

（3）設∠BCO＝θ，則tanθ＝ ，sinθ＝，cosθ＝．

假設存在滿足條件的點D，設菱形的對角線交于點E，設運動時間為t．

①若以CQ為菱形對角線，如答圖3﹣1．此時BQ＝t，菱形邊長＝t．

∴CE＝CQ＝（5﹣t）．

在Rt△PCE中，cosθ＝ ＝ ＝ ，

解得t＝ ．

∴CQ＝5﹣t＝．

過點Q作QF⊥x軸于點F，

則QF＝CQsinθ＝，CF＝CQcosθ＝，

∴OF＝3﹣CF＝．

∴Q（﹣，﹣）．

∵點D1與點Q橫坐標相差t個單位，

∴D1（﹣，﹣）；

②若以PQ為菱形對角線，如答圖3﹣2．此時BQ＝t，菱形邊長＝t．

∵BQ＝CQ＝t，

∴t＝ ，點Q為BC中點，

∴Q（﹣ ，﹣2）．

∵點D2與點Q橫坐標相差t個單位，

∴D2（1，﹣2）；

③若以CP為菱形對角線，如答圖3﹣3．此時BQ＝t，菱形邊長＝5﹣t．

在Rt△CEQ中，cosθ＝ ＝ ＝，

解得t＝．

∴OE＝3﹣CE＝3﹣t＝ ，D3E＝QE＝CQsinθ＝（5﹣ ）× ＝．

∴D3（﹣，）．

綜上所述，存在滿足條件的點D，點D坐標為：（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．