Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點（點E與點A，D不重合）．BE的垂直平分線交AB于M，交DC于N．

（1）設AE=x，四邊形ADNM的面積為S，寫出S關于x的函數關系式；

（2）當AE為何值時，四邊形ADNM的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）s=-x2+x+2；（2）當AE=x=1時，四邊形ADNM的面積S的值最大，最大值是．

【解析】

1）解題的關鍵是作輔助線ME、MN，證明出來△EBA≌△MNF，把需要解決的問題轉化成解直角三角形的問題，利用勾股定理解答．

（2）根據（1）的答案，利用二次函數的最值問題即可求出．

（1）連接ME，設MN交BE于P，根據題意，得

MB=ME，MN⊥BE．

過N作AB的垂線交AB于F．

在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，

在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，

∴∠MBP=∠MNF．

在Rt△EBA與Rt△MNF中，

∵AB=FN，

∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x．

在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，

∴（2-AM）2=x2+AM2．

4-4AM+AM2=x2+AM2，即4-4AM=x2，

解得AM=1-x2．

所以梯形ADNM的面積S=×AD=×2

=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE

=2（1-x2）+x

=-x2+x+2

即所求關系式為s=-x2+x+2．

（2）s=-x2+x+2=-（x2-2x+1）+=-（x-1）2+

故當AE=x=1時，四邊形ADNM的面積S的值最大，最大值是．