Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的交于點，交于點．求證：

是等腰三角形；

；

．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）首先根據四邊形ABDE為⊙O的內接四邊形，判斷出∠AED+∠ABC=180°，進而判斷出∠DEC=∠ABC；然后根據AB=AC，判斷出∠ABC=∠C，所以∠DEC=∠C，DE=DC，據此判斷出△DEC為等腰三角形即可；
（2）首先根據∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，可得∠CBE=∠CAD；然后根據∠BCE=∠ACD，可得△BEC∽△ADC；據此解答即可；
（3）首先根據△BEC∽△ADC，可得，即CDBC=ACCE；然后根據AB是⊙O的直徑，判斷出∠ADB=90°，進而判斷出CD=BC，CDBC=BCBC=BC2；最后根據AB=AC，判斷出BC2=2ABCE即可．

證明：∵四邊形為的內接四邊形，

∴，

又∵，

∴；

∵，

∴，

∴，

∴，

即為等腰三角形．

∵與是同弧所對的圓周角，

∴．

又∵，

∴；

根據，

可得，

即；

∵是的直徑，

∴，

即是底邊上的高；

又∵，

∴是的中點，

∴，

∴；

∵，

∴．

∴，

即．