Question

【題目】若一個兩位正整數m的個位數為8，則稱m為“好數”.

（1）求證：對任意“好數”m，m2-64一定為20的倍數；

（2）若m=p2-q2，且p，q為正整數，則稱數對(p,q)為“友好數對”，規定： ，例如68=182-162，稱數對（18,16）為“友好數對”，則，求小于50的“好數”中，所有“友好數對”的H(m)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）設的十位數字為，則由題意可得： ，由此可得： ，由此可得一定是20的倍數；

（2）設的十位數字為，則由題意可得： ，結合，且為正整數及分=1或2或3或4進行討論求得符合條件的的值，再求得對應的H（m）的值并比較大小即可求得本題答案.

試題解析：

（1）設的十位數字為，則由題意可得： ，

∴，

∵為兩位正整數的十位數字，

∴是整數，

∴是20的倍數；

（2）設的十位數字為，則由題意可得： ，

∵，且為正整數，

∴，

又∵，

∴①當時， ，此時沒有滿足條件的；

②當時， ，此時滿足條件的是數對（8，6），即，故H（28）=；

③當時， ，此時沒有滿足條件的；

④當時， ，此時滿足條件的有數對（7，1）、（8，4）、（13，11），即，故H（48）=或H（48）=或H（48）=；

綜上所述，∵，

∴小于50的“好數”中，所有“友好數對”的H(m)的最大值為.