Question

10．如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線y=a（x-h）²-4（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（-3，0）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上，且S_△POC=4S_△BOC，求點P的坐標；
（3）設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由對稱軸確定h的值，代入點A坐標即可求解；
（2）設出點P坐標并表示△POC的面積根據題意列出方程求解即可；
（3）設出點Q，D坐標并表示線段QD的長度，建立二次函數，運用二次函數的最值求解即可．

解答 解：（1）由題意對稱軸為直線x=-1，可設拋物線解析式：y=a（x+1）²-4，把點A（-3，0）代入可得，a=1，
∴y=（x+1）²-4=x²+2x-3，
（2）如圖1，

y=x²+2x-3，當x=0時，y=-3，
所以點C（0，-3），OC=3，
令y=0，解得：x=-3，或x=1，
∴點B（1，0），OB=1，
設點P（m，m²+2m-3），
此時S_△POC=$\frac{1}{2}$×OC×|m|=$\frac{3}{2}$|m|，
S_△BOC=$\frac{1}{2}×OB×OC$=$\frac{3}{2}$，
由S_△POC=4S_△BOC得$\frac{3}{2}$|m|=6，
解得：m=4或m=-4，
m²+2m-3=21，或m²+2m-3=5，
所以點P的坐標為：（4，21），或（-4，5）；
（3）如圖2，

設直線AC的解析式為：y=kx+b，
把A（-3，0），C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以直線AC：y=-x-3，
設點Q（n，-n-3），點D（n，n²+2n-3）
所以：DQ=-n-3-（n²+2n-3）=-n²-3n=-（n+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
所以當n=-$\frac{3}{2}$時，DQ有最大值$\frac{9}{4}$．

點評 此題主要考查二次函數綜合問題，會求函數解析式，會根據面積相等建立方程并準確求解，知道運用二次函數可以解決線段最值問題，是解題的關鍵．