Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.

(1)求證:不論k為何值,方程總有兩不相等實數根.

(2)設x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】

本題主要考查了根與系數的關系. （1）要保證方程總有兩個不相等的實數根，就必須使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值計算即可．

解：（1）已知關于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0，

∴△=（-2k）2-4×（k2-2）=2k2+8，

∵2k2+8＞0恒成立，

∴不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數根．

（2）∵x1、x2是方程的兩個根，

∴x1+x2=2k，x1x2=k2-2，

∴x12-2kx1+2x1x2=x12-（x1+x2）x1+2x1x2=x1x2=k2-2=5，

解得k=±．