Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A、B的坐標分別為A（0，4）和B（-2，0），連結AB．現將△AOB繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△AO₁B₁，

（1）直接寫出點B₁、O₁的坐標，并求經過B、A、O₁三點的拋物線對應的函數關系式；
（2）在上述拋物線對稱軸上找一點P使△ABP周長最小，求點P的坐標；
（3）在上述拋物線對稱軸上是否存在點Q使△ABQ為等腰三角形？若存在求點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉的性質得∠OAO₁=90°，∠AO₁B₁=∠AOB=90°，AO₁=AO=4，O₁B₁=OB=2，則根據第一象限點的坐標特征可得O₁（4，4），B₁（4，2），然后利用待定系數法求過B、A、O₁三點的拋物線對應的函數關系式；
（2）先通過解方程-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=0得到拋物線與x軸的另一個交點C的坐標為（6，0），利用對稱性可得到拋物線的對稱軸為直線x=2，連結AC，如圖1，AC交直線x=2于點P，利用兩點之間線段最短可判斷此時PA+PB最小，則此時△ABP周長最小，根據待定系數求直線AC的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+4，然后計算x=2時的函數即可得到P點坐標為（2，$\frac{8}{3}$）；
（3）如圖2，設Q點坐標為（2，t），利用兩點間的距離公式得到則AB²=20，AQ²=4+（4-t）²，BQ²=16+t²，然后分類討論：當AQ=AB時，4+（4-t）²=16；當BQ=BA時，16+t²=20；當QA=QB時，4+（4-t）²=16+t²，再分別解關于t的方程求出t的值，即可得到滿足條件的Q點坐標．

解答 解：（1）∵點A、B的坐標分別為A（0，4）和B（-2，0），
∴OA=4，OB=2，
∵△AOB繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△AO₁B₁，
∴∠OAO₁=90°，∠AO₁B₁=∠AOB=90°，AO₁=AO=4，O₁B₁=OB=2，
∴O₁點的坐標為（4，4），B₁（4，2），
設過B、A、O₁三點的拋物線對應的函數關系式為y=ax²+bx+c，
把A（0，4），B（-2，0），O₁（4，4）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴過B、A、O₁三點的拋物線對應的函數關系式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4；
（2）當y=0時，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=0，解得x₁=-2，x₂=6，則拋物線與x軸的另一個交點C的坐標為（6，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
連結AC，如圖1，AC交直線x=2于點P，
∵PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC=AC，
此時PA+PB最小，則此時△ABP周長最小，
設直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（0，4），C（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{6m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2}{3}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+4，
當x=2時，y=-$\frac{2}{3}$x+4=$\frac{8}{3}$，
∴此時P點坐標為（2，$\frac{8}{3}$）；
（3）存在．
如圖2，設Q點坐標為（2，t），則AB²=2²+4²=20，AQ²=2²+（t-4）²=4+（4-t）²，BQ²=（2+2）²+t²=16+t²，
當AQ=AB時，4+（4-t）²=16，解得t₁=0，t₂=8（此時B、A、Q共線，舍去），則Q點坐標為（2，0）；
當BQ=BA時，16+t²=20，解得t₁=2，t₂=-2，則Q點坐標為（2，2），（2，-2）；
當QA=QB時，4+（4-t）²=16+t²，解得t=$\frac{1}{2}$，則Q點坐標為（2，$\frac{1}{2}$），
綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（2，0）、（2，2）、（2，-2）、（2，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了拋物線的綜合題：熟練掌握旋轉的性質；會利用待定系數法求拋物線的解析式；理解坐標與圖形性質，記住兩點間的距離公式；運用分類討論的思想和等腰三角形的判定方法解決（3）小題．