Question

【題目】如圖，半徑為1的與軸交于兩點，圓心的坐標為，二次函數的圖象經過兩點，與軸交于點，頂點為，直線與軸交于點.

(1)求二次函數的解析式.

(2)經過坐標原點的直線與相切，求直線的解析式.

(3)試問在軸上是否存在點，使的周長最小？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)存在，.

【解析】

（1）將點A，B的坐標代入函數表達式，解出b，c的值即可；

（2）設直線與相切于點，求出OE的長，過點作軸于點，可得比例式，可求出EH的長度，從而求出OH，即點E坐標，可得l的解析式，再根據兩條直線關于x軸對稱可得另一條直線的表達式；

（3）利用軸對稱的應用，當△PMD的周長取最小值時，求出M點的坐標，設直線的

解析式為，根據點B的坐標求出BM解析式，得到點D坐標，可知點D與點C坐標關于x軸對稱，連接，設直線的解析式為，將C，M的坐標代入，則CM與x軸交點即為點P的坐標.

解：(1)由題意可知，

二次函數的圖象經過兩點，

，

解得，

二次函數的解析式

(2)如圖，設直線與相切于點，

過點作軸于點

，

，

，

的解析式為，

根據對稱性，滿足條件的另一條直線的解析式為，

所求直線的解析式為：或.

(3)存在

理由：為二次函數的頂點，

，

，

設直線的解析式為，

點坐標為，

，

解得，

直線的解析式為，

直線與軸交于點，

點坐標為，

點與關于軸對稱，

連接，設直線的解析式為，

把代入得，

，

解得，

，

直線與軸的交點為，

.