Question

1．如圖①，已知點A（4，4），P為x軸正半軸上一點，AQ⊥AP交y軸于Q．
（1）判斷AP與AQ的大�。�
（2）當點P在x軸正半軸上運動，點Q在y軸正半軸上時，①OP+OQ與②|OP-OQ|中哪個為定值，并求其值．
（3）當點P在x軸正半軸上運動，點Q在y軸負半軸上時，如圖②，（2）中的哪個為定值，并求其值．

Answer 1

分析 （1）在圖①中，作AM⊥OQ，AN⊥OP垂足分別為M，N，由△AMQ≌△ANP即可得到證明．
（2）利用（1）的結論，根據線段和差定義證明①是定值．
（3）根據△AMQ≌△ANP得AM=AN，MQ=PN，利用線段和差定義解決，可以證明②是定值．

解答 解：（1）在圖①中，作AM⊥OQ，AN⊥OP垂足分別為M，N．
∵點A坐標（4，4），
∴OM=0N=AM=AN=4，
∵∠MAN=∠PAQ=90°，
∴∠MAQ=∠NAP，
在△AMQ和△ANP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAQ=∠NAP}\\{AM=AN}\\{∠AMQ=∠ANP=90°}\end{array}\right.$，
∴△AMQ≌△ANP，
∴AQ=AP．
（2）OP+OQ=8，是定值．理由如下：
由（1）可知，△AMQ≌△ANP，
∴QM=PN，
OP+OQ=（ON-PN）+（OM+QM）=2OM=8（定值）．
（3）|OP-OQ|=8是定值．理由如下：
在圖②中，作AM⊥OQ，AN⊥OP垂足分別為M，N．
∵點A坐標（4，4），
∴OM=0N=AM=AN=4，
∵∠MAN=∠PAQ=90°，
∴∠MAQ=∠NAP，
在△AMQ和△ANP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAQ=∠NAP}\\{AM=AN}\\{∠AMQ=∠ANP=90°}\end{array}\right.$，
∴△AMQ≌△ANP，
∴AM=AN，MQ=PN，
∴|OP-OQ|=|（ON+PN）-（QM-OQM|=2OM=8（定值）．

點評 本題考查平面直角坐標系的有關知識、全等三角形的判定和性質、線段和差定義，構造全等三角形是解決問題的關鍵．