Question

如圖，將?OABC放置在平面直角坐標系xOy內，已知AB邊所在直線的解析為：y=-x+4．
（1）點C的坐標是（______，______）；
（2）若將?OABC繞點O逆時針旋轉90°得OBDE，BD交OC于點P，求△OBP的面積；
（3）在（2）的情形下，若再將四邊形OBDE沿y軸正方向平移，設平移的距離為x（0≤x≤8），與?OABC重疊部分面積為S，試寫出S關于x的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵AB邊所在直線的解析為：y=-x+4，
∴點A的坐標為：（4，0），點B的坐標為：（0，4），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=OA=4，BC∥OA，
∴點C的坐標為：（-4，4）；
故答案為：-4，4；

（2）由旋轉的性質，可得：OD=OB=4，
∵∠BOD=90°，
∴∠OBD=45°，
∵OB=BC，∠OBC=90°，
∴∠BOC=45°，
∴∠OPB=90°，BP=OP，
∵OB=4，
∴OP=BP=2，
∴S_△OBP=OP•BP=4；


（3）①如圖1：當0≤x＜4時，
∵OF=GB=x，
∴S_△OFK=x²，S_△HBG=x²．
∵S_△OPG=（x+4）²，
∴S_{五邊形KFBHP}=（x+4）²-x²-x²=-x²+2x+4=-（x-2）²+6．
當x=2時，S_max=f（2）=6；
②當4≤x≤8時，
∵HB=FB=x-4，
∴CH=8-x，
∴S_△CPH=（8-x）²．
當x=4時，S_max=f（4）=4．
∴當x=2時，S取得最大值為6．
分析：（1）由AB邊所在直線的解析為：y=-x+4，即可求得點A與B的坐標，又由四邊形OABC是平行四邊形，即可求得BC=OA=4，則可求得點C的坐標；
（2）易證得△OBP是等腰直角三角形，又由BO=4，即可求得△OBP的面積；
（3）分別從當0≤x＜4時與當4≤x≤8時去分析求解即可求得答案．
點評：此題屬于一次函數的綜合題，考查了一次函數的性質、二次函數的最值問題、平行四邊形的性質、旋轉的性質以及平移的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．