Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的內切圓，它與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F.

(1)求證：BE＝CE；

(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）利用切線長定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，進而得出BD=CF，即可得出答案；

（2）首先連接OD、OE，進而利用切線的性質得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，進而得出四邊形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半徑．

試題解析：（1）∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為D、E、F，∴AD=AF，BD=BE，CE=CF.

∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AF，即BD=CF.

∴BE=CE.

（2）如圖，連接OD、OF，

∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°.

又OD=OF，∴四邊形ODAF是正方形.

設OD=AD=AF=r，則BE=BD=CF=CE=.

在△ABC中,∠A=90°，∴.

又BC=BE+CE，∴，解得：r=.

∴⊙O的半徑是.