Question

【題目】已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=mx 2 +2mx－4（m≠0）的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，△ABC的面積為12．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）點D的坐標為（－2，1），點P在二次函數的圖象上，∠ADP為銳角，且tan∠ADP=2，求出點P的橫坐標；

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-4；（2）點P橫坐標為－2或

【解析】

（1）根據對稱軸坐標公式可求二次函數圖象的對稱軸；當x＝0時，y＝﹣4，可求點C的坐標為（0，﹣4），根據三角形面積公式可求AB＝6．進一步得到A點和B點的坐標分別為（﹣4，0），（2，0）．待定系數法可求二次函數的解析式；

（2）作DF⊥x軸于點F．分兩種情況：（ⅰ）當點P在直線AD的下方時；（ⅱ）當點P在直線AD的上方時，延長P1A至點G使得AG＝AP1，連接DG，作GH⊥x軸于點H，兩種情況討論可求點P1的坐標；

（1）由題意可得：該二次函數圖象的對稱軸為直線x＝﹣1；

∵當x＝0時，y＝﹣4，

∴點C的坐標為（0，﹣4），

∵S△ABC＝AB|yC|＝12，

∴AB＝6．

又∵點A，B關于直線x＝﹣1對稱，

∴A點和B點的坐標分別為（﹣4，0），（2，0）．

∴4m+4m﹣4＝0，解得m＝．

∴所求二次函數的解析式為y＝x2+x﹣4．

（2）如圖，作DF⊥x軸于點F．分兩種情況：

（ⅰ）當點P在直線AD的下方時，如圖所示．

由（1）得點A（﹣4，0），點D（﹣2，1），

∴DF＝1，AF＝2．

在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，得tan∠ADF＝＝2．

延長DF與拋物線交于點P1，則P1點為所求．

∴點P1的坐標為（﹣2，﹣4）．

（ⅱ）當點P在直線AD的上方時，延長P1A至點G使得AG＝AP1，連接DG，作GH⊥x軸于點H，如圖所示．

可證△GHA≌△P1FA．

∴HA＝AF，GH＝P1F，GA＝P1A．

又∵A（﹣4，0），P1（﹣2，﹣4），

∴點G的坐標是（﹣6，4）．

在△ADP1中，

DA＝，DP1＝5，

AP1＝2，

∴DA2+AP12＝DP12

∴∠DAP1＝90°．

∴DA⊥GP1．

∴DG＝DP1．

∴∠ADG＝∠ADP1．

∴tan∠ADG＝tan∠ADP1＝2．

設DG與拋物線的交點為P2，則P2點為所求．

作DK⊥GH于點K，作P2S∥GK交DK于點S．

設P2點的坐標為（x，x2+x﹣4），

則P2S＝x2+x﹣4﹣1＝x2+x﹣5，DS＝﹣2﹣x．

由＝，GK＝3，DK＝4，得＝．

整理，得2x2+7x﹣14＝0．

解得x＝．

∵P2點在第二象限，

∴P2點的橫坐標為x＝（舍正）．

綜上，P點的橫坐標為﹣2或．