Question

【題目】用一定數目的點或大小相同的圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形數陣.古希臘著名數學家畢達哥拉斯用數，，，，，……這些數量的（石子），都成功的排成了等邊三角形數陣..

（問題提出）結果等于多少？

在圖1所示的等邊三角形數陣中，前行有個圓圈，前行有個圓圈，即，前行有個圓圈，即，…，則前行所有圓圈個數總和為

將圖1旋轉至圖2，觀察這兩個三角形數陣中同一行圓圈個數（如第行的圓圈個數分別為個，個），發現同一行圓圈個數之和均為___________個，由此可得兩個圖前行圓圈個數總和為：___________，因此，___________.

（問題延伸）結果等于多少？

圖3

圖4

在圖3所示的等邊三角形數陣中，第行圓圈中的數為，即，第行兩個圓圈中數字的和為.即…，第行個圓圈中數字的和為（共個）.即.這樣，該三角形數陣中所有圓圈中數字的和為.

將該三角形數陣經兩次旋轉可得如圖4所示的三個三角形數陣，觀察這三個三角形數陣中各行同一位置上圓圈中的數字（如第行的第一個圓圈中的數字分別為，，），發現相同位置上三個圓圈中數字之和均為___________，由此可得，這三個三角形數陣所有圓圈中數字的總和為：___________，因此，___________.

（規律應用）

根據以上發現，計算：的結果為___________.

Answer 1

【答案】（問題提出）n+1；n（n+1）；；（問題延伸）2n+1； ×（2n+1）；（規律應用）1345.

【解析】

（問題提出）根據圖形可發現同一行圓圈個數之和均為（n+1）個，由此可得兩個圖前行圓圈個數總和為：n（n+1），因此可求出；

（問題延伸）根據材料可得相同位置上三個圓圈中數字之和為++=2n+1，由此可得，這三個三角形數陣所有圓圈中數字的總和為：×（2n+1），因此變形即可求出；

（規律應用）根據規律即可化簡求解.

（問題提出）觀察這兩個三角形數陣中同一行圓圈個數（如第行的圓圈個數分別為個，個），發現同一行圓圈個數之和均為（n+1）個，由此可得兩個圖前行圓圈個數總和為： n（n+1），因此，，

故答案為：n+1；n（n+1）；；

（問題延伸）

∵++=2n+1，

∴相同位置上三個圓圈中數字之和為++=2n+1，

∴這三個三角形數陣所有圓圈中數字的總和為：×（2n+1），

∴=

故答案為：2n+1； ×（2n+1）；

（規律應用）

=

=

=1345

故答案為：1345.