Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都停止運動．設點P運動的時間為ts．

（1）當P異于A．C時，請說明PQ∥BC；

（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

Answer 1

【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2，

∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB。

又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如圖1，連接BD交AC于O。

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=AC。

∴OB=AB=1。∴OA=，AC=2OA=2。

運動ts后，AP=t，AO=t，∴。

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.

∴PQ∥BC.

（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，則PM⊥BC。

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=。

由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，

此時⊙P與邊BC有一個公共點。

如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB為等邊三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。

∴當時，⊙P與邊BC有2個公共點。

如圖4，

⊙P過點C，此時PC=PQ，即=t

∴t=。

∴當1≤t≤時，⊙P與邊BC有一個公共點。

當點P運動到點C，即t=2時，Q、B重合，⊙P過點B，

此時，⊙P與邊BC有一個公共點。

綜上所述，當t=或1≤t≤或t=2時，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；當時，⊙P與邊BC有2個公共點。

【解析】

直線與圓的位置關系，菱形的性質，含30°角直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，平行的判定，切線的性質，等邊三角形的判定和性質。

（2）分⊙P與BC切于點M，⊙P過點B，⊙P過點C和點P運動到點C四各情況討論即可。