Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，AC=AB，CO的延長線交⊙O于點F，BP的延長線交AC于點E，連接AP、AF．

（1）求證：AF∥BE；

（2）求證：；

（3）若AB=2，求tan∠F的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析‘；（2）證明見解析；（3）tan∠F=．

【解析】

（1）根據三角形中等邊對等角得到∠OAF=∠F，由同弧所對的圓周角相等得到∠B=∠F，從而得出∠OAF=∠B，由此可得FA∥BE．

（2）根據弦切角定理得∠PAC=∠F，從而證出△APC∽△FAC，利用對應邊成比例及AB=AC，證出，再根據比例的性質整理可得，AB=AC．得證．

（3）根據切割線定理，結合題中數據可得CP（CP+PF）=AC2=4，由此解出CP=（舍負）．再由FP為⊙O的直徑得∠FAP=90°，在Rt△FAP中利用三角函數的定義，結合（2）中的結論即可算出tan∠PFA的值．

（1）證明：∵在⊙O中，直徑AB與FP交于點O，

∴OA=OF，

∴∠OAF=∠F．

又∵∠B=∠F，

∴∠OAF=∠B．

∴FA∥BE．

（2）證明：∵AC為⊙O的切線，PA是弦，

∴∠PAC=∠F．

∵∠C=∠C，

∴△APC∽△FAC．

∴．

∴．

∵AB=AC，

∴；

（3）解：∵AC切⊙O于點A，CPF為⊙O的割線，

∴AC2=CP×CF=CP（CP+PF），

∵PF=AB=AC=2，

∴CP（CP+2）=4，

整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=，

∵CP＞0，

∴CP=．

∵FP為⊙O的直徑，

∴∠FAP=90°，

∴在Rt△FAP中，tan∠F==．