Question

【題目】如圖，四邊形OABC是矩形，點A坐標為（2，0），點C坐標為（0，4）．點P從點O出發，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同時點Q從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，當點P與點A重合時運動停止．設運動時間為t秒．

（1）當△CBQ與△PAQ相似時，求出t的值；

（2）當t=1時，拋物線y=2x2+bx+c經過P，Q兩點，與y軸交于點M，在該拋物線上找點D，使∠MQD=∠MPQ，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）或（2）或

【解析】

（1）根據矩形的性質得：∠B＝∠PAQ＝90，所以當△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：①當△PAQ∽△QBC時，，②當△PAQ∽△CBQ時，，分別列方程可得t的值；

（2）根據t＝1求拋物線的解析式，根據Q（2，2），M（0，2），可得MQ∥x軸，則PM＝PQ，PE⊥MQ，畫出符合條件的點D，利用三角函數，列比例式可得點D的坐標，同理根據對稱可得另一個點D．

（1）如圖1，

∵當點P與點A重合時運動停止，且△PAQ可以構成三角形，

∴0＜t＜2，

∵四邊形OABC是矩形，

∴∠B＝∠PAQ＝90

∴當△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：

①當△PAQ∽△QBC時，

，

∴，

4t210t＋4＝0，

（4t2）（t2）=0，

t1＝2（舍），t2＝，

②當△PAQ∽△CBQ時，，

∴，

t26t＋4＝0，

t＝，

∵＞2，

∴t＝不符合題意，舍去，

綜上所述，當△CBQ與△PAQ相似時，t的值是或；

（3）當t＝1時，P（1，0），Q（2，2），

把P（1，0），Q（2，2）代入拋物線y＝2x2＋bx＋c中得：

，解得：，

∴拋物線：y＝2x24x＋2＝2（x1）2，

∴頂點為P（1，0），

∵Q（2，2），M（0，2），

∴MQ∥x軸，

作拋物線對稱軸，交MQ于E，設DQ交y軸于H，

∴PM＝PQ，PE⊥MQ，

∴∠MPE＝∠QPE＝∠MPQ，

如圖2，∠MQD＝∠MPQ＝∠QPE，

∴tan∠MQD＝tan∠QPE＝，

即，MH＝1，

∴H（0，3），Q（2，2）

設HQ的解析式為y=kx+b

把H（0，3），Q（2，2）代入得，解得

∴y＝ x＋3，

則

，

解得：x1＝2（舍），x2＝ ，

∴D；

同理，在M的下方，y軸上存在點H，如圖3，使∠HQM＝∠MPQ＝∠QPE，

由對稱性得：H（0，1），

設HQ的解析式為y=px+q

把H（0，1），Q（2，2）代入得，解得

∴y＝x＋1，

∴HQ的解析式：y＝x＋1，

則，

，

解得：x1＝2（舍），x2＝，

∴D；

綜上所述，點D的坐標為：D或．