Question

【題目】如圖，在Rt直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC中點，直角∠MDN繞點D旋轉，DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F兩點，則下列結論：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF，其中正確結論是_______________．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據等腰直角三角形的性質可得∠CAD=∠B=45°，根據同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角邊角”證明△BDE和△ADF全等，判斷出③正確；根據全等三角形對應邊相等可得DE=DF、BE=AF，從而得到△DEF是等腰直角三角形，判斷出①正確；再求出AE=CF，判斷出②正確；根據BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF＞EF，判斷出④錯誤．

解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點D為BC中點，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，

，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
故③正確；
∴DE=DF、BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正確；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，
故②正確；
∵BE+CF=AF+AE
∴BE+CF＞EF，
故④錯誤；
綜上所述，正確的結論有①②③.