Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．得到下面四個結論：①OA=OD；②AD⊥EF；③當∠A=90°時，四邊形AEDF是正方形；④．上述結論中正確的是( )

A. ②③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】只要證明△ADE≌△ADF，推出AE=EF，DE=DF，推出AD垂直平分線段EF，即可判定②③正確，利用勾股定理即可判定④正確，①不一定成立故錯誤．

解：∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠DAE=∠DAF，

又∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，

∴△ADE≌△ADF，

∴AE=AF，DE=DF，

∴AD垂直平分EF，故②正確，

∵∠AED=∠AFD=90°，

∴當∠EAF=90°時,

∴四邊形AEDF是矩形，

∵AE=AF，

∴四邊形AEDF是正方形，故③正確，

∵AE2+DF2=EO2+AO2+OD2+OF2，

DE2+AF2=OE2+OD2+OA2+OF2，

∴AE2+DF2=AF2+DE2，故④正確，

∵AD垂直平分EF，

而EF不一定垂直平分AD，故①錯誤，

故選D.