Question

【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AB=5cm，BC=3cm,,若動點P從點C開始,按C→A→B→C的路徑運動,且速度為每秒1cm,設出發的時間為t秒.

(1)出發2秒后,求△ABP的周長.

(2)問t為何值時,△BCP為等腰三角形?

(3)另有一點Q,從點C開始,按C→B→A→C的路徑運動,且速度為每秒2cm,若P、Q兩點同時出發,當P、Q中有一點到達終點時,另一點也停止運動.當t為何值時,直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分?

Answer 1

【答案】(1) 7+;(2) t為3s、5.4s、6s、6.5s;(3) t為2或6秒.

【解析】

（1）根據速度為每秒1cm，求出出發2秒后CP的長，然后就知AP的長，利用勾股定理求得PB的長，最后即可求得周長．
（2）因為AB與CB，由勾股定理得AC=4 因為AB為5cm，所以必須使AC=CB，或CB=AB，所以必須使AC或AB等于3，有兩種情況，△BCP為等腰三角形．
（3）分類討論：當P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=6；當P點在AB上，Q在AC上，則AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．

解：（1）如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4，動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，
∴出發2秒后，則CP=2，
∵∠C=90°，
∴PB==，
∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=2+5+=7+．

（2）①如圖2，若P在邊AC上時，BC=CP=3cm，
此時用的時間為3s，△BCP為等腰三角形；

②若P在AB邊上時，有三種情況：
i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時AP=2cm，P運動的路程為2+4=6cm，
所以用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；
ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為2.4cm，
作CD⊥AB于點D，
在Rt△PCD中，PD==1.8，
所以BP=2PD=3.6cm，
所以P運動的路程為9-3.6=5.4cm，
則用的時間為5.4s，△BCP為等腰三角形；
ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時P應該為斜邊AB的中點，P運動的路程為4+2.5=6.5cm
則所用的時間為6.5s，△BCP為等腰三角形；
綜上所述，當t為3s、5.4s、6s、6.5s時，△BCP為等腰三角形
（3）如圖6，當P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t+2t-3=3，
∴t=2；

如圖7，當P點在AB上，Q在AC上，則AP=t-4，AQ=2t-8，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t-4+2t-8=6，
∴t=6，
∴當t為2或6秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．