Question

【題目】定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=2，MN=3，則BN=；
（2）如圖2，在△ABC中，FG是中位線，點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE≥BD，連接AD，AE分別交FG于點M，N，求證：點M，N是線段FG的勾股分割點；

（3）如圖3，已知點M，N是線段AB的勾股分割點，MN＞AM≥BN，四邊形AMDC，四邊形MNFE和四邊形NBHG均是正方形，點P在邊EF上，試探究S△ACN ， S△APB ， S△MBH的數量關系．
S△ACN=；S△MBH=；S△APB=；
S△ACN ， S△APB ， S△MBH的數量關系是 ．

Answer 1

【答案】
（1） 或
（2）證明∵點F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點，

∴FM、MN、NG分別是△ABD、△ADE、△AEC的中位線，

∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，

∵點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE＞BD，

∴EC2=DE2+DB2，

∴4NG2=4MN2+4FM2，

∴NG2=MN2+FM2，

∴點M，N是線段FG的勾股分割點

（3） ?AM2+ MN?AM, ?BN2+ ?MN?BN, MN2+ ?MN?AM+ ?MN?BN,S△APB=S△ACN+S△MBH
【解析】解：（1）分兩種情況：

①當MN為最大線段時，

∵點 M、N是線段AB的勾股分割點，

∴BN= = = ；

②當BN為最大線段時，

∵點M、N是線段AB的勾股分割點，

∴BN= = = ；

綜上所述：BN的長為 或 ．

⑶∵四邊形AMDC，四邊形MNFE和四邊形NBHG均是正方形，

∴S△ACN= （AM+MN）AC= （AM+MN）AM= AM2+ MNAM，

S△MBH= （MN+BN）BH= （MN+BN）BN= BN2+ MNBN，

S△PAB= （AM+NM+BN）FN= （AM+MN+BN）MN= MN2+ MNAM+ MNBN，

∴S△APB=S△ACN+S△MBH，

所以答案是S△APB=S△ACN+S△MBH．

【考點精析】關于本題考查的相似三角形的性質，需要了解對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能得出正確答案．