Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，直線與雙曲線交于點，與軸交于點．探究：由雙曲線與線段圍成的區域內（不含邊界）整點的個數（點的橫、縱坐標都是整數的點稱為整點）．①當時，如圖，區域內的整點的個數為_____；②若區域內恰有4個整點，結合函數圖象，則的取值范圍是_______

Answer 1

【答案】3 或．

【解析】

①將時代入可得：直線解析式為，畫圖可得整點的個數；
②分兩種情況：直線在OA的下方和上方，畫圖計算邊界時點b的值，可得b的取值．

①當時，則直線，

解方程得：(舍去)，

∴點B的坐標為(，)，

令，則，得：，

經過點(，)，

觀察圖形，可知：

區域M內的整點有（1，0），（2，0），（3，0），有3個，
故答案為：3；

②當直線在OA下方時，

過點(1，-1)時，，，

∴直線的解析式為 ，

令，則，得：，

經過點(，)，

作出圖象如圖所示：

觀察圖象可知：當時，區域M內的整點有4個，分別是：（1，0），（2，0），（3，0），（4，0）；

當直線在OA上方時，

∵點(2，2)在函數的圖象上，

當直線過(1，2)時，，

∴直線的解析式為，
當直線過(1，3)時，，

∴直線的解析式為 ，

作出圖象如圖所示：

觀察圖象可知：當時，區域M內的整點有4個，分別是：（1，1），（1，2），（2，1），（3，1）；

綜上所述，區域M內恰有4個整點，b的取值范圍是：或．

故答案為：或．