Question

【題目】觀察下列等式：，，，將以上三個等式兩邊分別相加得：．

（1）觀察發現

_________；

__________．

（2）初步應用

利用（1）的結論，解決下列問題：

①把拆成兩個分子為1的正的真分數之差，即__________；

②把拆成兩個分子為1的正的真分數之和，即__________．

（3）深入探究

定義“◆”是一種新的運算，若，，，則計算的結果是_________．

（4）拓展延伸

第一次用一條直徑將圓周分成兩個半圓（如圖），在每個分點標上質數，記2個數的和為，第二次將兩個半圓都分成圓，在新產生的分點標相鄰的已標的兩個數的和的，記4個數的和為；第三次將四個圓分成圓，在新產生的分點標相鄰的已標的兩個數的和的，記8個數的和為；第四次將八個圓分成圓，在新產生的分點標相鄰的已標的兩個數的和的，記16個數的和為；……如此進行了次．

①_________（用含、的代數式表示）；

②，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）①；②；（3）；（4）①；②．

【解析】

（1）觀察發現：先根據題中所給出的列子進行猜想，寫出猜想結果即可；根據第一空中的猜想計算出結果；

（2）利用求解可得；

（3）根據＝計算可得；

（4）①由a1＝2k＝k，a2＝4k＝k，a3＝k，a4＝10k＝k可得an＝k；

②由k＝2×2×5×13×17知k（n＋1）（n＋2）＝2×2×3×5×13×17＝5×51×52，據此可得k＝5，n＝50，再進一步求解可得．

（1）觀察發現：；

；

故答案為：，．

（2）初步應用

①；

②由，得，即；

故答案為：，．

（3），

故答案為：；

（4）①∵，，，，……

∴，

故答案為：．

②∵，且為質數，

對4420分解因數可知，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

∴

．