Question

【題目】已知拋物線的圖象如圖所示：

（1）將該拋物線向上平移2個單位，分別交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則平移后的解析式為　　．

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．

（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．

【解析】

（1）根據函數圖象的平移規律，可得新的函數解析式；

（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得A，B，C的坐標，根據勾股定理及逆定理，可得答案；

（3）根據等腰三角形的定義，分三種情況，可得關于n的方程，根據解方程，可得答案．

（1）將該拋物線向上平移2個單位，得：yx2x+2．

故答案為：yx2x+2；

（2）當y=0時，x2x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．

當x=0時，y=2，即C（0，2）．

AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．

∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；

（3）yx2x+2的對稱軸是x，設P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三種情況討論：

①當AP=AC時，AP2=AC2，n2=5，方程無解；

②當AP=CP時，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；

③當AC=CP時，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．

綜上所述：在拋物線對稱軸上存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標（，0），（，2），（，2）．