Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．

（1）求∠BOD的度數；

（2）求證：四邊形OBCD是菱形；

（3）若⊙O的半徑為r，∠ODA=45°，求△ABD的面積（用含r的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）證明見解析；（3）（1+）r2．

【解析】

（1）結合圓的內接四邊形對角互補，運用方程思想，再運用圓周角定理求解即可；

（2）連接OC，證明△BOC和△DOC都是等邊三角形，進而即可證明結論；

（3）分別計算△BOD，△AOD和△AOB的面積，再求和即可．

（1）∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠C+∠BAD=180°，

∵∠C=2∠BAD，

∴∠C=120°，∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°；

（2）如圖1連接OC，

∵BC=CD，

∴∠BOC=∠DOC=60°，

∵OB=OC=OD，

∴△BOC和△DOC都是等邊三角形，

∴OB=OC=OD=BC=DC，

∴四邊形OBCD是菱形，

（3）如圖2，連接OA，過點A作BO的垂線交BO的延長線于點N，

∵∠BOD=120°，OB=OD，

∴∠ODM=30°，

∵∠BOM=∠DOM，

∴OM⊥BD，

∴OM=r，DM=r，

∴BD=2DM=r，

∴S△BOD＝r2，

∵∠ODA=45°，OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA=45°，

∴∠AOD=90°，

∴S△AOD＝r2，

∵∠BOD=120°，∠AOD=90°，

∴∠AOB=150°，

∴∠AON=30°，

∴AN=OA=r，

∴S△AOB＝r2，

∴△ABD的面積為r2+r2+r2=（1+）r2．